GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Tìm thấy 10,000 tài liệu liên quan tới tiêu đề "Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số":

Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số

PHƯƠNG PHÁP RUNGE KUTTA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số
Xem thêm

89 Đọc thêm

PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỰNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (LV01729

PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỰNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (LV01729

- Ứng dụng vào giải bài toán biên đối với phương trình vi phân.6. Phương pháp nghiên cứuPhương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lạicác vấn đề liên quan tới đề tài.7. Đóng góp của đề tài nghiên cứu- Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phương pháp Ritz.- Nêu một số ứng dụng về phương pháp Ritz vào giải xấp xỉ bài toánbiên đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng.6Chương 1CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ1.1Không gian định chuẩn và toán tử tuyến tínhtrong không gian định chuẩn1.1.1Không gian định chuẩnĐịnh nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không giantuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = Rhoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là. và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ);ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ;iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Xem thêm

78 Đọc thêm

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân bằng phương pháp runghe kutta

TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGHE KUTTA

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân bằng phương pháp runghe kutta

25 Đọc thêm

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mựcMột số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mựcMột số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mựcMột số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mựcMột số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

12 Đọc thêm

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

đề tài nghiên cứu khoa học: một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênđề tài nghiên cứu khoa học: một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênđề tài nghiên cứu khoa học: một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênđề tài nghiên cứu khoa học: một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênđề tài nghiên cứu khoa học: một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênđề tài nghiên cứu khoa học: một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênđề tài nghiên cứu khoa học: một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênđề tài nghiên cứu khoa học: một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
Xem thêm

94 Đọc thêm

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 1
MỤC LỤC 2
MỞ ĐẦU 4
1. Lý do chọn đề tài 4
2. Mục đích nghiên cứu 5
3. Đối tượng nghiên cứu 5
4. Phạm vi nghiên cứu 5
5. Phương pháp nghiên cứu 5
NỘI DUNG 6
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 6
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 6
ĐỊNH NGHĨA 6
1. Lũy thừa hai vế của phương trình 6
a) Phương pháp 6
b) Ví dụ minh họa 7
2. Trục căn thức 10
a) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 10
b) Đưa về “hệ tạm” 13
3. Phương trình biến đổi về tích 14
a) Sử dụng đẳng thức 14
b) Dùng hằng đẳng thức 15
4. Bài tập áp dụng 16
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 17
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 17
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến 22
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 27
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích 30
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ 33
a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường 33
b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại I 34
c) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II 37
d) Đặt ẩn phụ đưa về hệ gần đối xứng 41
6. Bài tập áp dụng 42
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 44
1. Dùng bất đẳng thức 44
a) Phương pháp 44
b)Ví dụ minh họa 44
2. Bài tập áp dụng 47
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 48
1. Phương pháp 48
2. Bài tập áp dụng 51
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC 51
1. Phương pháp lượng giác 51
a) Phương pháp 51
b) Bài tập áp dụng 56
2.Phương pháp véc tơ 57
a) Phương pháp 57
b)Ví dụ minh họa 57
c) Bài tập áp dụng 59
VI. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHCĐ TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY 60
KẾT LUẬN 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO 66







MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lý thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nổ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách.
Trong chương trình Toán phổ thông, phương trình là một mảng kiến thức quan trọng. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỉ.
Trong những năm gần đây, phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện ở câu II trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Vì vậy, việc trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ kèm với phương pháp giải chúng là rất quan trọng. Như chúng ta đã biết phương trình vô tỉ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong đề tài này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp.
Hy vọng nó sẽ góp phần giúp học sinh có thêm những kĩ năng cần thiết để giải phương trình vô tỉ nói riêng và các dạng phương trình nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này có tác dụng giúp cho học sinh rèn luyện được một số kĩ năng, phương pháp giải phương trình vô tỉ. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng tư duy và giải quyết các bài tập một cách chủ động.
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình vô tỉ.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phương trình vô tỉ.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung phần phương trình vô tỉ và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình đại số 10.
Một số bài giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong các đề thi Đại học Cao đẳng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp tài liệu liên quan, trình bày sắp xếp lại thành hệ thống.






NỘI DUNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
ĐỊNH NGHĨA
 Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
 Một số phép biến đổi tương đương.
• Cộng trừ hai vế phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
• Nhân chia hai vế phương trình với cùng biểu thức (luôn khác 0) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
• Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình.
• Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế của phương trình cùng dương.
1. Lũy thừa hai vế của phương trình
a) Phương pháp
Với các dạng phương trình cơ bản





• ta lập phương hai vế để đưa về phương trình dạng và sử dụng phép thế ta được phương trình hệ quả:
• Phương trình dạng
 Nếu thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương giải phương trình hệ quả sau đó kiểm tra nghiệm chọn nghiệm.
 Nếu mà thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương giải phương trình hệ quả sau đó kiểm tra nghiệm chọn nghiệm.
b) Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải
Lập phương 2 vế của phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải
Điều kiện:
Đặt điều kiện
Ta có:

(thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là ; .
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Giải

Vậy phương trình có nghiệm: .
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Giải

Vậy phương trình có nghiệm: .
Ví dụ 5: Giải phương trình: (5)
Giải

Vậy phương trình có nghiệm: .
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Giải
Điều kiện: Ta có:

(thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là ; .
Ví dụ 7: Giải phương trình sau:
Giải
Điều kiện:



Thử lại thỏa mãn phương trình
Vậy là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 8: Giải phương trình sau: (8)
Giải
Điều kiện:

Thử lại: , không thỏa
Vậy phương trình (8) vô nghiệm.
2. Trục căn thức
a) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm . Như vậy, phương trình luôn đưa được về dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm, chú ý điều kiện của phương trình để ta đánh giá vô nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải
Điều kiện:
Ta nhận thấy:

(1)

(thỏa)
Dễ dàng chứng minh được phương trình
=0 vô nghiệm vì

Vậy là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Giải
Để phương trình có nghiệm thì:
Ta nhận thấy: là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có
thể phân tích về dạng: ta biến đổi như sau:
(2)

Dễ dàng chứng minh được:
Vậy là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
Giải
Điều kiện:
Nhận thấy là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình
như sau:
(3)


Phương trình () vô nghiệm vì:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
b) Đưa về “hệ tạm”
Nếu phương trình vô tỉ có dạng mà: ở đây có thể là hằng số, có thể là biểu thức của
Ta có thể giải như sau:
khi đó ta có hệ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải
Ta thấy:
Phương trình đã cho có nghiệm
không phải là nghiệm của phương trình
Xét trục căn thức ta có:

Ta có hệ phương trình:

Thử lại thỏa, vậy phương trình có 2 nghiệm: .
3. Phương trình biến đổi về tích
a) Sử dụng đẳng thức

Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải
(1)

Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Giải
không phải là nghiệm
, ta chia 2 vế cho :
(2)

Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
Giải
Điều kiện:
(3)

(thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Giải
Điều kiện:
Chia cả hai vế cho ta được:
(thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là: .
b) Dùng hằng đẳng thức
Biến đổi phương trình về dạng:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải
Điều kiện:
(1) (thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Giải
Điều kiện:
(2)
(thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
Giải
(3)

Vậy nghiệm của phương trình là: .
4. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:

1.
ĐS:
2.
ĐS:
3.
ĐS:
4.
ĐS:
5.
ĐS: vô nghiệm
6.
ĐS:
7.
ĐS:
8.
ĐS:
9.
ĐS:
10.
ĐS:
11.
ĐS:
12.
ĐS:
13.
ĐS:
14.
ĐS:
15.
ĐS:
16.
ĐS:
17.
ĐS:
18.
ĐS:

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của . Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến và quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt ẩn phụ xem như hoàn toàn
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải
Điều kiện:
Nhận xét:
Đặt thì phương trình (1) trở thành:


Với ta có phương trình:

Vậy nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Giải
Điều kiện:
Đặt . Thay vào phương trình (2) ta được:

(vì )
Với ta có:

Với ta có:

Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
Giải
Điều kiện:
Đặt .Thay y vào phương trình (3) trở
thành:
(3)


(vì )
Với ta có phương trình:

(thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 4: Giải phương trình: (4)
Giải
Điều kiện:
Đặt ( ) phương trình trở thành:
(4)



(vì )
Với ta có phương trình

Vậy là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
Giải
Điều kiện:
Chia cả 2 vế cho x ta được phương trình:

()
Đặt phương trình () trở thành:
()
Với ta có phương trình:

Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Giải
Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế cho x ta được:

()
Đặt phương trình () trở thành:

Với ta có phương trình:

Vậy nghiệm của phương trình là: .
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách:
 Xét phương trình trở thành:
 thử trực tiếp.
Các trường hợp sau cũng đưa được về dạng (1)


Nếu thay các biểu thức bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng
a) Phương trình dạng:

Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu

Chú ý một số phân tích trước khi đặt ẩn phụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải
Điều kiện:
Đặt
(1)

Với ta có phương trình:

Với ta có phương trình:

(thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Giải
Điều kiện:
(2)
Đặt
Xem thêm

65 Đọc thêm

ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH (LV THẠC SĨ)

ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH (LV THẠC SĨ)

Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)
Xem thêm

44 Đọc thêm

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CÁCH GIẢI VÍ DỤ CỤ THỂ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CÁCH GIẢI VÍ DỤ CỤ THỂ

là những hàm phụ thuộc x, y (x là biến độc lập; y là hàm cần tìm)Ví dụ 3:; (ex + x + 1)dx + (siny + 2cosy)dy = 02.2.2. Cách giảiTừ (1) ta có: M(x)dx = -N(y)dy. Lấy tích phân hai vế:Ûvà do đó tích phân tổng quát của (1)· Chú ý: Xét phương trình vi phân cấp một M1(x) N1(y)dx + M2(x) N2(y)dy = 0Nếu M2(x), N1(y) ¹ 0 thì chia hai vế cho M2(x), N1(y)(2) Ûvà do đó tích phân tổng quát của (2)Nếuthì bằng cách thử trực tiếp:·x = a (khi y ¹ b)·

12 Đọc thêm

BT phương trình vi phân BKHN lâm minh

BT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BKHN LÂM MINH

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN được tác giả biên soạn từ tập đề dành cho hệ chính quy năm thứ nhất tại ĐH BKHN, trong đó có một số bài của hệ KSTN (K60). Ngoài những phương pháp đã được dạy trong giáo trình giải tích 3, tác giả còn hướng dẫn sâu hơn bằng nhiều cách giải khác nhau cho mỗi bài, đặc biệt Kỹ thuật đặt ẩn phụ 1 kỹ thuật áp dụng cho phần lớn PT vi phân và cực kì hiệu quả. Làm chủ được kỹ thuật này, bạn sẽ giải được đến 99% những PT vi phân có thể giải được Chúc các bạn học tốt
Xem thêm

26 Đọc thêm

SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON RAPHSON GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON RAPHSON GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính
Xem thêm

76 Đọc thêm

Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến.

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN.

Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến.Nội dung chính:Hướng dẫn cài công thức trong Excel theo thuật toán EulerEuler cải tiến để giải gần đúng phương trình và hệ phương trình vi phân.Hướng dẫn bầm máy VINACAL cài công thức theo thuật toán EulerEuler cải tiến để giải gần đúng phương trình và hệ phương trình vi phân.

20 Đọc thêm

PHẦN 1THIẾT LẬP VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ƠLE CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG

PHẦN 1THIẾT LẬP VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ƠLE CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG

bơmtác dụng để giảm tổn thất áp suất do lực quán tính xuống mức tối thiểu- bầu khí trong ống hút và ống đẩy có tác dụng làm cho chất lỏng đi trong ốnghút được đều đặn. nhờ có bầu khí mà chất lỏng chỉ chuyển động không đềutrong khoảng ngắn giữa 2 bầu khí và xilanh của bơm.- do thể tích của trong bầu khí thay đổi từ V max đến Vmin và ngược lại, mà thể tíchchất lỏng trong bầu khí thay đổi tương ứng.- tuy bầu khí có tác dụng tốt như vậy , nhưng trong một số trường hợp như bơmvận chuyển các chất đốt , nhiên liệu ( sản phẩm dầu mỏ, xăng ) không có cấutạo bầu khí , vì không khí chứa trong bầu khí sẽ trộn với hơi chất đốt bay lên dễtạo thành hỗn hợp chất nổ gây nguy hiểm.câu 15 : so sánh các loại bơm và ứng dụngƯu điểmBơm- tạo được lưu lượng đều đặn đáp ứngli tâm ưu cầu kĩ thuật của nhiều nghành sảnxuất. đồ thị cung cấp đều đặn, không tạohình sin- số vòng quay lớn, có thể truyền độngtrực tiếp từ động cơ điện.- có cấu tạo đơn giản, gọn, chiếm ít diệntích xây dựng và không cần kết cấu nềnmóng quá vững chắc . do đó, giá thànhchế tạo , lắp đặt và vận hành thấp.- có thể bơm những chất lỏng bẩn, vìkhe hở giữa cánh guồng và thân bơmtương đối lớn. nhờ cải tiến kết cấu cánhguổng mà bơm ly tâm hiện nay đã bơm
Xem thêm

22 Đọc thêm

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH BÀI 7

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH BÀI 7

1(ln x 2  C ) , x=0)35. Phương trình tuyến tínha) Đặt vấn đề Phương trình đại số tuyến tính cấp một ax = b luôn giải được Liệu có thể xây dựng được cách giải đối với phương trình vi phân tuyến tính cấpmột hay không?dyb) Định nghĩa.+ p(x) y = q(x) hoặc x  p( y ) x  q( y )(1)dx47PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảothao.nguyenxuan@hust.edu.vnc) Phương pháp giải. Có 3 phương pháp giải là :- Sử dụng công thức nghiệm tổng quát.- Thừa số tích phân.- Biến thiên hằng số.Dưới đây là phương pháp thừa số tích phân : Tính thừa số tích phân  ( x )  e p( x )dx
Xem thêm

12 Đọc thêm

LÝ THUYẾT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

LÝ THUYẾT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1. Các dạng phương trình lượng giác thường gặp 1. Các dạng phương trình lượng giác thường gặp     Các phương trình lượng giác rất đa dạng, trong chương trình chỉ học một số dạng phương trình lượng giác đơn giản nhất : 2. Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác    Chỉ cần thực hiên hai phép biến đổi tương đương: chuyển số hạng không chứa x sang vế phải và đổi dấu; chia hai vế phương trình cho một số khác 0 là ta có thể đưa phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải. 3. Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác     Đặt hàm số lượng giác chứa ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hai có nghiệm thì thế giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép đặt ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải. 4. Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c    Chỉ cần xét trường hợp cả hai hệ số a, b đều khác 0 (trường hợp một trong hai hệ số đó bằng 0 thì phương trình cần giải là hpuwong trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác (sinx hoặc cosx) đã biết cách giải.    Cách 1: Chia hai vế phương trình cho  và gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto  = (a ; b) thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải: sin(x + α) =  .   Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng sinx + cosx =  và đặt α = arctan thì tanα =   , phương trình trở thành : tanαsinx + cosx =  ⇔ cos(x - a) =  .               Phương trình này đã biết cách giải. Chú ý : Để phương trình sin(x + a) =  có nghiệm, điều kiện cần và đủ là  Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm. 5. Phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác    Hệ thống các công thức lượng giác rất phong phú nên các phương trình lượng giác cũng rất đa dạng. Sử dụng thành thạo các phép biến đổi lượng giác các em có thể đưa các phương trình cần giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp bậc hai đối với cosx và sinx : a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d có thể đưa về dạng phuowng trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Chính vì sự đa dạng và phong phú ấy nên chúng tôi cũng chỉ có thể minh họa phương pháp giải thông qua một số ví dụ điển hình và các em có thể nắm vững phương pháp giải thông qua nhiều bài tập.
Xem thêm

2 Đọc thêm

Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ
phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỉ
phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp bất đẳng thức
phuong phap giai bat phuong trinh vo ti

38 Đọc thêm

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU VÀ NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU VÀ NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI

Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên.Tác giả chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Đông Yên và các nghiên cứu sinhcủa thầy đã giúp đỡ rất nhiều trong quá trình tác giả làm luận văn.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô và cán bộ công nhân viêncủa Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu tại Viện.Hà Nội, ngày 25 tháng 08 năm 2013Vũ Thị Hướng2Chương 1Kiến thức cơ sởChương này gồm hai mục. Mục thứ nhất trình bày một số kiến thức liên quanđến phương trình vi phân tuyến tính. Mục thứ hai nhắc lại một vài kết quả vềphương trình vi phân phi tuyến.1.1Phương trình vi phân tuyến tínhĐịnh lý 1.1.1. (Xem [5, tr. 11]) Xét phương trình tuyến tính dq = A(t)q(t) + a(t)dt(1.1)
Xem thêm

33 Đọc thêm

BÀI GIẢNG DAO ĐỘNG KỸ THUẬT BÀI 2: DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ CẢN

BÀI GIẢNG DAO ĐỘNG KỸ THUẬT BÀI 2: DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ CẢN

Bài trước chúng ta đã nghiên cứu các hệ dao động tự do một bậc tự do không cản, cụ thể chúng ta đã đi xây dựng phương trình vi phân dao động, giải ptvp và tìm ra qui luật chuyển động trong trường hợp đơn giản này. Tuy nhiên trong thực tế yếu tố cản trở dao động luôn luôn xuất hiện, điều đó có nghĩa là năng lượng dao động của hệ bị hao phí bằng cách chuyển hóa dần sang dạng khác. Như vậy để thu được các kết quả nghiên cứu có ý nghĩa cao, sát với các bài toán thực tế thì bắt buộc phải thêm các yếu tố cản vào trong mô hình hệ dao động. Các yếu tố cản chính là các lực cản, mà trong thực tế có hai loại lực cản phổ biến nhất là lực ma sát nhớt và lực ma sát khô.
Bài học này chúng ta sẽ đi nghiên cứu 2 mô hình dao động tự do một bậc tự do có cản ứng với ma sát nhớt và ma sát khô. Cụ thể ta cũng thực hiện các bước thiết lập phương trình vi phân dao động, giải ptvp và tìm ra qui luật dao động. Chúng ta cũng sẽ nghiên cứu một ví dụ cụ thể trong mục III.
Xem thêm

6 Đọc thêm

LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

Phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng: ax + by =c (1) trong đó a, b, c, là các số đã cho, với ab ≠ 0. Nếu có cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 = c thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình (1). 2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (ab ≠ 0) + Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 phương trình có vô số nghiệm, mỗi cặp số (x, y), trong đó  hoặc  đều là nghiệm của phương trình. Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số y = . Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng ax + by = c. + Nếu a = 0, b ≠ 0 mỗi cặp số (x; y) trong đó  là một nghiệm của phương trình. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bằng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm P(0; ). + Nếu a ≠ 0, b = 0, tập nghiệm của phương trình là các cặp số (x, y) trong đó  là số tùy ý. Đường thẳng x =  song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm Q(; 0) biểu diễn tập nghiệm của phương trình. 3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: (I)  trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn. Một cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của (1) và của (2) gọi là một nghiệm của hệ (I). Có thể giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hay phương pháp cộng đại số. 4. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn Để giải ta dùng phương pháp cộng đặc số để đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác hoặc dùng phương pháp thế để đưa về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Xem thêm

2 Đọc thêm

Bí quyết chinh phục điểm 9 trong đề thi đại học về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ.

BÍ QUYẾT CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.

PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


I. Một số kiến thức cần nhớ:

I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
+
+
+

+
Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp
Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau:
Giả sử nếu ta có phương trình dạng với xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức).

II. Các ví dụ minh họa:
Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau:

II.1. Các bài toán mở đầu
Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé

Bài toán 1: Giải phương trình sau:

Bài toán 2: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)

II. 2. Bài tập minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình
(1)
Giải:
Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau:



Mặt khác, ta có:

Nên phương trình thức hai vô nghiệm.
Vậy (1) có 2 nghiệm .

Ví dụ 2: Giải phương trình sau
(2)
Giải:
Ý tưởng:
Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta có nhận xét rằng:

Ta đi đến lời giải như sau:
(2)


Mặt khác, ta có:
> 0 với mọi x
Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 3: Giải phương trình
(3)
Giải:
Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử .
Ta viết lại như sau:
(4)
Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:


Pt ()
Đến đây ta có hai hướng giải quyết:
Hướng 1: bình phương hai vế…
Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được:


Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm .

Ví dụ 4: Giải phương trình

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
Xem thêm

35 Đọc thêm

Phương trình, hệ phương trình vô tỉ

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


I. Một số kiến thức cần nhớ:

I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
+
+
+

+
Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp
Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau:
Giả sử nếu ta có phương trình dạng với xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức).

II. Các ví dụ minh họa:
Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau:

II.1. Các bài toán mở đầu
Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé

Bài toán 1: Giải phương trình sau:

Bài toán 2: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)

II. 2. Bài tập minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình
(1)
Giải:
Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau:



Mặt khác, ta có:

Nên phương trình thức hai vô nghiệm.
Vậy (1) có 2 nghiệm .

Ví dụ 2: Giải phương trình sau
(2)
Giải:
Ý tưởng:
Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta có nhận xét rằng:

Ta đi đến lời giải như sau:
(2)


Mặt khác, ta có:
> 0 với mọi x
Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 3: Giải phương trình
(3)
Giải:
Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử .
Ta viết lại như sau:
(4)
Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:


Pt ()
Đến đây ta có hai hướng giải quyết:
Hướng 1: bình phương hai vế…
Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được:


Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm .

Ví dụ 4: Giải phương trình

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
Xem thêm

86 Đọc thêm